У часи війни та миру українка знаходить магію в математиці

9 июля 2022 г., 15:05

Марина В’язовська стала другою жінкою, яка виграла медаль Філдса за 86-річну історію нагороди.

На сьогоднішній церемонії International Mathematical Union (IMU) назвав численні математичні досягнення В'язовської, зокрема її доказ того, що система під назвою решітка E8 є найщільнішою упаковкою сфер у восьми вимірах. Вона лише друга жінка, яка отримала цю нагороду за 86-річну історію медалі. (Мар'ям Мірзахані (Maryam Mirzakhani) була першою, у 2014 році).

Як і іншім володарям Філдсових медалей, В’язовській «вдається робити абсолютно неочевидні речі, які багато людей намагалися та не змогли», — сказав математик Генрі Коен (Henry Cohn), якого попросили виступити з офіційною доповіддю ICM, присвяченій її роботі. На відміну від інших, сказав він, «вона робить це, відкриваючи дуже прості, природні, глибокі структури, речі, яких ніхто не очікував і які ніхто інший не зміг знайти».

У 2011 році В’язовська разом з Бондаренком і Радченком подали статтю до журналу Annals of Mathematics на тему «сферичний дизайн». «Аннали», як його називають математики, є чи не найпрестижнішим журналом у математиці. Стаття була прийнята, і незабаром математики організовували цілі конференції для її обговорення.

Починаючи з 1970-х років, математики задавалися питанням: як зростає кількість точок у сферичному плані, коли ви дивитесь на поліноми все більшого й вищого ступеня? На це запитання відповіли В’язовська, Бондаренко та Радченко.

Разом з Бондаренком і Радченком вона почала досліджувати, чи можуть модулярні форми прояснити багатовікове питання, яке вони троє намагалися розгадати деякий час: як упакувати сфери разом якомога щільніше. Математики вже знали, що найщільніший спосіб упаковки кіл у площині — це стільниковий візерунок, а найщільніший спосіб упаковки сфер у тривимірному просторі — це знайоме пірамідальне нагромадження, яке ви бачите на стопках апельсинів у бакалійника. Але питання також можна поставити у вищих вимірах, де воно має важливі застосування для кодів з виправленням помилок.

Ніхто не знав, які найщільніші сферичні упаковки є у вимірі більше трьох. Але два спеціальні виміри — вісім і 24 — мали сильних кандидатів. У цих двох вимірах існують високосиметричні схеми, що називаються E8 і решіткою Ліча, відповідно, які упаковують сфери набагато щільніше, ніж будь-які інші схеми, які можуть знайти математики.

Бондаренко, В'язовська та Радченко шукали модулярні форми, щоб спробувати побудувати магічну функцію, але протягом тривалого часу вони мало просувалися. Згодом Бондаренко і Радченко звернули увагу на інші проблеми. В’язовська, однак, не могла не думати про упаковку сфер.

Після кількох років роздумів над проблемою, у 2016 році їй вдалося точно визначити магічну функцію восьмого виміру. Вона виявила, що відповідь полягає не в модулярній формі, а в певній «квазімодулярній» формі, дещо з помилками в симетрії.

В’язовська та її співробітники вийшли з роботи з упаковки сфер з більш високими амбіціями. Математики давно підозрювали, що E8 і решітка Ліча — це набагато більше, ніж просто найкращий спосіб упаковки сфер. Ці дві решітки, за гіпотезою математиків, є «універсально оптимальними», тобто вони є найкращими структурами за безліччю критеріїв.

Щоб довести, що E8 і решітка Ліча мінімізують енергію в усіх цих різних контекстах, команді довелося придумати магічні функції для кожного окремого поняття енергії. Але вони мали лише часткову інформацію про те, як має поводитися така магічна функція (якщо вона існує). Вони знали значення функції в деяких точка. Вони також знали, як швидко змінюються функція та її перетворення Фур’є в окремих точках. Постало питання: чи достатньо цієї інформації для реконструкції функції?

В’язовська висунула сміливе припущення: ця інформація, яку мала команда, була достатньою, щоб визначити магічну функцію. Менше, і буде багато функцій, які підходять. Більше, і функція буде занадто обмеженою, щоб існувати.

За словами Сільвії Серфаті (Sylvia Serfaty) з Університету Нью-Йорка, отримана стаття відповідає великим проривам 19 століття, коли математики розв’язали багато проблем, які століттями бентежили їхніх попередників. «Ця стаття дійсно є великим досягненням науки, — сказала вона. - Знати, що людський мозок здатний створити доказ чогось подібного, для мене це справді чудовий факт».

В'язовська пишається своєю країною, але жахливо почувається, що її співвітчизникам довелося звикнути до сирен повітряної тривоги, обстрілів, війни.

Принаймні, сказала вона, «тирани не можуть перешкодити нам займатися математикою. Є принаймні щось, що вони не можуть у нас забрати».